Université Paul Sabatier Licence 2ème année, 1ère période

Travaux dirigés de mécanique Année 2009-2010

THEME 1 : PROBLEMES A 2 CORPS ET CHANGEMENT DE REFERENTIEL

Conformément à l’usage typographique international, les vecteurs sont représentés en gras.

A. Questions de cours : 1- Problème à deux corps en interaction mutuelle : rappeler la réduction à un problème à un corps dans leréférentiel du centre de masse ainsi que les lois de conservation. 2 – Enoncer le théorème du viriel. 3- Définir l’énergie potentielle associée à une force. Toutes les forces dérivent-elles d’une énergie potentielle ? Commenter.

B. Exercices et problèmes : I – Vibration de la molécule d’HCl On étudie les mouvements relatifs des atomes d’hydrogène et de chlore de la molécule de HCl dans le référentieldu centre de masse R* de cette molécule.

1 – Etablir l’équation du mouvement radial (suivant la coordonnée r, distance entre les atomes H et Cl) de cette molécule à partir de deux intégrales premières. On introduira l’énergie potentielle effective Ep,ef = Ep + L2/(2?r2) , Ep étant l’énergie potentielle d’interaction, L le moment cinétique et ? la masse réduite des deux atomes. 2 – Sachant queEp, ef passe par un minimum pour r =r0=0.126 nm, quel est au voisinage de la position d’équilibre l’expression de la force d’interaction ente H et Cl ? En déduire la nature du mouvement. 3 – Les mesures spectroscopiques permettent de déterminer la fréquence de vibration de la molécule de HCl : ? = 0.857 1014 Hz. Sachant que les masses de H et Cl sont respectivement 1.67 10-27 et 59.4 10-27 kg,calculer la constante K caractéristique de cette vibration.

II- Mouvement d’une masselotte sur une tige Une masselotte A peut coulisser sans frottement sur une tige T. Cette tige tourne uniformément autour d’un axe vertical Oz, en étant inclinée d’un angle ?0 constant par rapport

à cet axe. Sur la figure 1, sont représentés le référentiel terrestre R = Oxyz, supposé galiléen, et le référentieltournant R’ = Ox’y’z’ dans lequel la tige est fixe : la vitesse de rotation de R’ par rapport à R est ?0. On appelle r = OA la variable qui permet de situer la masselotte A sur la tige. Préliminaires 1) Exprimer le vecteur OA, en fonction de r et de ?0, dans la base de R’. Quelle est l’expression de la vitesse de A par rapport à R’? Quelles sont les caractéristiques du vecteur-vitesse de rotationde R’ par rapport à R? 2) En déduire les composantes, dans la base de R’, de la vitesse d’entraînement de A dans le mouvement de R’ par rapport à R? 3) Trouver, dans la base de R’, les composantes de : a) l’accélération d’entraînement de A dans le mouvement de R’ par rapport à R? b) l’accélération de Coriolis de A dans le mouvement de R’ par rapport à R?

Figure 1

Dans tout ce qui suit, onétudie le mouvement de A par rapport à R’. Dynamique 4) Effectuer le bilan des forces qui s’exercent sur A. 5) En projetant la loi fondamentale de la dynamique dans la base que vous justifierez, établir l’équation du mouvement de A. Energétique 6) Calculer l’énergie potentielle associée à la force d’inertie d’entraînement (on prendra l’origine de l’énergie potentielle en O). En déduire l’expressionde l’énergie potentielle totale Ep(r). 7) Retrouver, en explicitant le théorème utilisé, l’équation différentielle du mouvement de A. 8) Déterminer la position d’équilibre re de l’anneau et discuter de sa stabilité. 9) Donner l’allure de la courbe Ep(r). 10) Selon la valeur de ro par rapport à re, discuter des différents mouvements possibles de A sur la tige une fois qu’il est lâché. Université Paul Sabatier Licence 2ème année, 1ère période

Travaux dirigés de mécanique Année 2009-2010

THEME 2 : CONIQUES

Conformément à l’usage typographique international, les vecteurs sont représentés en gras.

A. Questions de cours 1 – Enoncer les trois lois de Kepler. 2 – Quelle est l’expression de l’énergie potentielle effective dans le problème de Kepler ? 3 – Vitesse d’évasion :…