I.U.P. Lorient Licence GEII

avril 2001 Emmanuel Boutillon

Devoir surveillé d’automatique Systèmes asservis linéaires

Exercice n°1 : On considère le système de fonction de transfert : F ( p) = ? 0,1 ? (100 p + 1) ( p + 1)(0,01 p + 1)

a) Tracer l’allure du diagramme de Bode en amplitude et en phase de F(p). b) Quelle est la valeur initiale de sortie du système pour une entrée impulsion(Dirac) ? c) Quelle est la valeur finale de sortie du système pour une entrée échelon ?

Exercice n°2 : Donner la transformé de Laplace X(p) de la solution x(t) à l’équation différentielle suivante (on ne cherchera pas à résoudre cette équation).
5? dx(t ) + x(t ) = 4te ? 2t + 1 , conditions initiales x(0) = -8. dt

Exercice n°3 : Inverser (transformée de Laplace inverse) la fonction detransfert suivante : p ?1 F ( p) = p ( p + 1) 2 Exercice n°4 : On considère le système de fonction de transfert G ( p ) = le diagramme de Nyquist de ce système est donné en annexe. a) Ce système est-il stable en boucle ouverte ? b) Combien possède t’il de pôle à partie réelle positive ? c) Déterminer les valeurs du gain K pour lesquels le système K.G(p) est stable en boucle fermée (donner unejustification).
5 p ?1 , 12 p + p 2 + 2 p + 1
3

Exercice n° 5 : On considère un système G(p) dont on connaît le diagramme de Black (voir annexe). a) Que peut-on dire de la réponse à un échelon du système en boucle ouverte ? b) Quelle est l’erreur statique du système en boucle fermée ? c) Quelle est la marge de gain et la marge de phase du système ? d) Tracer l’allure de la réponse à un échelon dusystème en boucle fermée (avec, sur le graphique, l’indication de l’amplitude maximale ainsi que l’échelle du temps). e) Déterminer les caractéristiques d’un correcteur proportionnel permettant de stabiliser correctement le système (c’est-à-dire, une marge de gain d’au moins 15 dB et une marge de phase d’au moins 50°). f) Quel est l’inconvénient de ce correcteur ? g) Déterminer les caractéristiquesd’un correcteur à avance de phase permettant de ramener la marge de phase à 50° (sans modification de la marge de gain). i) Donner les caractéristiques d’un correcteur PI permettant, en association avec le correcteur à avance de phase de la question g), de rendre nulle l’erreur de poursuite et ce, sans dégrader la stabilité du système. REMARQUE : Toutes les questions de ce problème peuvent êtretraitées indépendamment les unes des autres.

Annexe
Diagramme de Nyquist de G(p) (exercice n° 4)
Nyquist Diagrams
From: U(1) 3

2

1

Imaginary Axis

To: Y(1)

0

-1.69
-1

-2

-3 -3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

Real Axis

Diagramme de Black (exercice n° 5)
Nichols Charts
From: U(1) 60 50 40 30 20 To: Y(1) 10 0 -10 -20 -30 -40 -240

Open-Loop Gain (dB)1,72 rd/s

-220

-200

-180

-160

-140

-120

-100

-80

Open-Loop Phase (deg)

I.U.P. Lorient Licence GEII

avril 2001 Emmanuel Boutillon

Devoir surveillé d’automatique Systèmes asservis linéaires Correction

Exercice n°1 : Tracer l’allure du diagramme de Bode en amplitude et en phase de la fonction de transfert suivante : ? 0,1 ? (100 p + 1) F ( p) = ( p + 1)(0,01 p +1) Le gain statique du système (pour p = j? = 0) est de –0.1. On a donc un gain statique de –20 dB et un déphasage de –180°.

|F(j?)| en dB 20 dB 0 dB -20 dB -40 dB 0,01 rd/s 1 rd/s 100 rd/s Log10(?) F(p) 100p+1 1/(p+1) 1/(100p+1)

Arg(F(j?)) 100p+1 0° -90° -180° -270° 0,01 rd/s 1 rd/s 100 rd/s

1/(p+1) Log10(?) F(p)

b) L’entrée x(t) est un Dirac, sa transformée de Laplace est donc 1. Latransformée de Laplace Y(p) de la sortie y(t) du filtre est donc Y(p)=F(p). On utilise le théorème de la valeur initiale pour obtenir la valeur initiale de f(t). lim t ?0 y (t ) = lim p? +? pY ( p ) = lim p ?+? p ? 0,1 ? (100 p + 1) = ?1000 ( p + 1)(0,01 p + 1)

c) L’entrée du filtre est un échelon de transformée de Laplace 1/p. La transformée de Laplace Y(p) de la sortie du filtre y(t) est…