PROBABILITES ET STATISTIQUE I&II
CHAPITRE I. COMBINATOIRE ELEMENTAIRE

I.1.

Rappel des notations de la théorie des ensemble

I.1.a. Ensembles et sous-ensembles Un ensemble E est une collection d’objets appelés éléments. Si x est un élément de E on dit que x appartient à E ou que E contient x, et on note x ? E. Si x n’est pas un élément de E on note x ? E. L’ensemble E peut avoir un nombrefini ou infini d’éléments. Dans le dernier cas E peut être dénombrable (par exemple E = Z, l’ensemble des entiers) ou pas dénombrable (par exemple E = R, l’ensemble des nombres réels). L’ensemble vide, noté { }ou ?, n’a aucun élément. L’ensemble A est un sous-ensemble (on dit aussi partie) de l’ensemble de E si chaque élément de A est un élément de E. On note : A ? E. Si A ? B et B ? A, A et Bcontiennent les mêmes éléments. On le note A = B. I.1.b. Diagrammes (dits de Venn)

A
?x

?
x?A?E

1

I.1.c. Cardinal d’un ensemble fini Un ensemble E est fini s’il possède un nombre fini d’éléments. On appelle cardinal de E, le nombre de ces éléments qu’on note card E (ou #E ou |E|). Propriétés évidentes : 1) Si E = ? alors card E = 0. 2) Si A ? E alors card A ? card E. I.1.d. Opérationsbooléennes Si A ? E et si B ? E, on définit la réunion de A et B comme l’ensemble des éléments de E qui sont éléments de A ou B : A ? B = {x?E, x?A ou x?B }. Evidemment la réunion de A et B contient au plus tous les éléments de A et tous de B (si A et B n’ont aucun élément en commun), ce qui donne pour des ensembles finis l’inégalité: card(A ? B) ? card(A) + card(B). On définit ainsil’intersection de A et B comme l’ensemble des éléments de E qui sont éléments de A et B : A ? B = {x?E, x?A et x?B }. Le principe d’exclusion-inclusion nous fournit une relation pour le cardinal de A , B, A ? B, et A ? B : card(A ? B) + card(A ? B) = card(A) + card(B). On définit le complémentaire de A comme l’ensemble des éléments de E qui ne sont pas des éléments de A : Ac = {x?E, x?A}. Evidemment on a larelation card(A) + card(Ac) = card(E).

La différence de A et B est définie comme l’ensemble des éléments de E qui sont éléments de A et qui ne sont pas éléments de B : A B = {x?E, x?A et x?B } = A ? Bc. La différence symétrique de A et B est définie par : A ? B = (A B) ? (B A).

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I.1.e. Suites de sous-ensembles Soient A1, A2,…, Ai, Ai+1,… des sous-ensembles d’un ensemble E. On peutgénéraliser les notions de réunion et d’intersection en définissant : •

?A
i =1

?

i

comme le sous-ensemble de E constitué des éléments de E qui

appartiennent à au moins un des sous-ensembles Ai •

? Ai
i =1

?

comme le sous-ensemble de E constitué des éléments de E qui

appartiennent à tous les sous-ensembles Ai. Définition : Les (Ai)1?i sont disjoints deux à deux si etseulement si (en abrégé ssi), pour tout i ? j Ai ? Aj = ?. Les (Ai)1?i forment une partition de l’ensemble E s’ils sont disjoints deux à deux et si : ? Ai = E . Dans ce cas pour tout élément x de E, il existe
i =1 ?

un i et un seul i tel que x? Ai. I.1.f. Ensemble produit cartésien Soient E, F deux ensembles. On définit le produit cartésien de E et F par : E × F = {(x,y), x?E et y?F}. C’estl’ensemble des couples (x,y) ou x?E et y?F. Attention: Couple et paire sont des notions différentes et donc E × F ? F × E. De même on définit le produit cartésien pour n ensembles (Ei)1?i?n: E1 × …× En = {(x1,…, xn), x1?E1,…, xn?En}. Si Ei = E pour tout i on écrit En pour le produit cartésien . Le cardinal d’un produit cartésien : Si E et F sont des ensembles finis alors le produit cartésien E × F est unensemble fini et card(E × F) = card(E) card(F). Dans le cas général, on a pour n ensembles finis (Ei)1?i?n: card(E1 × …× En) = card(E1)?…?card(En).
Tableau 1: Produit cartésien E×F ×

F E a b c d 1 a1 b1 c1 d1 2 a2 b2 c2 d2 3 a3 b3 c3 d3 4 a4 b4 c4 d4 5 a5 b5 c5 d5 6 a6 b6 c6 d6
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I.1.g. Propriétés élémentaires du complémentaire et des opérations booléennes 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7)…