D Evolution temporelle des systèmes mécaniques

1 La mécanique de Newton

Le vecteur vitesse

Définissons rigoureusement le vecteur vitesse instantanée

Dans le repère (O, [pic], [pic], [pic]) lié au référentiel d’étude, un point M est repéré par le vecteur position [pic]. Le point M est en mouvement par rapport au référentiel et donc [pic]est une fonction du temps. L’utilisation duvecteur position [pic] permet d’écrire :
[pic] (cf. cours 1ère S)
[pic] représente la vitesse pour un intervalle de temps (t petit. Le passage à la limite nous permet de définir la vitesse instantanée :
[pic]
Le vecteur vitesse instantanée est donc la dérivée par rapport au temps du vecteur position [pic].

Le vecteur vitesse instantanée a les caractéristiques suivantes :

– direction : latangente à la trajectoire au point occupé par M à la date t
– sens : celui du mouvement à cet instant
– norme : la valeur positive [pic]

Les coordonnées du vecteur vitesse dans le repère (O, [pic], [pic], [pic]) sont :
[pic]

Deuxième loi de Newton (aspect semi quantitatif)

Un rappel du cours de 1S

Dans un référentiel galiléen, si le vecteur vitesse du centre d’inertie varie, la sommedes forces qui s’exercent sur le solide n’est pas nulle.
La variation, entre deux instants, du vecteur vitesse et la résultante des forces, appliquées entre ces deux instants, ont la même direction et le même sens :

[pic] (cf. cours 1ère S)

Accélération du centre d’inertie

Définissons rigoureusement l’accélération

On filme le lancer d’une bille dans l’air. A l’aide d’un logiciel, onpointe sur chaque image la position du centre de la bille. L’échelle étant définie, le logiciel calcule les vitesses instantanées et dessine les vecteurs correspondants.

Le poids est la seule force qui s’exerce sur la bille : [pic]. On constate sur la figure ci-dessus que les vecteurs [pic]et les [pic]ont même direction, même sens et des valeurs proportionnelles :

[pic].
Les mesures étantréalisées sur un même intervalle de temps (t, on en déduit que [pic]et [pic] sont également proportionnels :
[pic]
[pic] caractérise l’accroissement de la vitesse (ou accélération) pour un intervalle de temps (t petit. Le passage à la limite nous permet de définir l’accélération instantanée :

[pic]

Le vecteur accélération instantanée est la dérivée par rapport au temps du vecteur vitesse.Le vecteur accélération instantanée a les caractéristiques suivantes :

– direction et sens : vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire
– norme : la valeur positive [pic]

Dans un repère ( O, [pic], [pic], [pic] ), les coordonnées du vecteur accélération sont :

[pic]

Le repère de Frenet

Un repère privilégié pour étudier les mouvements curviligne et circulaire

La courbedécrite par un point est appelée trajectoire de ce point dans le référentiel d’étude. s est l’abscisse curviligne c’est-à-dire la distance orientée parcourue par M sur sa trajectoire.

On montre mathématique que [pic] et [pic]
[pic]est le vecteur unitaire tangent à la trajectoire. [pic] est le vecteur unitaire normal à la trajectoire et R le rayon de courbure de cette trajectoire au pointconsidéré.

Il est alors commode de définir le trièdre ([pic], [pic], [pic]) de Frenet, un repère mobile lié au mouvement du point, dans lequel [pic]est le vecteur unitaire perpendiculaire au plan ([pic], [pic]). Dans ce repère :

( les composantes de la vitesse dans le repère de Frenet [pic] =[pic]
( les composantes de l’accélération dans ce repère [pic] = [pic] = [pic]

Il faut biencomprendre que la vitesse ci-dessus n’est pas celle « par rapport au repère de Frenet ». En effet celle-ci serait nulle puisque ce repère suit le point dans son mouvement. La vitesse [pic] n’est définie que par rapport à un référentiel. Une fois ce vecteur défini, par rapport à un référentiel, on peut exprimer les composantes dans n’importe quel repère géométrique ; celui-ci, contrairement au…