produit scalaire (première)

Produit Scalaire : Rappels et Applications

I. Définition du produit scalaire
Définition 1) Le produit scalaire de deux vecteurs Si ou alors On appelle carréscalaire et on note 2) En notant et non nuls est le réel, noté (ou ) défini par :

le produit scalaire

et H le projeté orthogonal de B sur (IA) :

II. Calcul
Quels que soient les vecteurs a) b) c) d)e) et les réels et :

III. Orthogonalité

IV. Vecteur normal
Un vecteur non nul est dit normal à une droite D s’il est orthogonal à un vecteur directeur de D.

V. Application à l’analyseSoient un repére orthonormal , et . On a :

Fiche issue de http://www.ilemaths.net

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produit scalaire (première)

VI. Coordonnée d’un vecteur normal
Soit D la droite d’équation Alors estnormal à D dans un repère orthonormal .

VII. Théoréme d’Al Kashi
Soit ABC un triangle quelconque . On a :

VIII. Théoréme de la médiane
Soit ABC un triangle et I le milieu de [BC] . On a :

IX.Aire d’un triangle

X. Applications
Dans chaque cas, déterminons l’ensemble des points M vérifiant l’égalité : a) L’ensemble des points M forme la médiatrice de [AB] b) L’ensemble des points M est ladroite perpendiculaire à (AB) passant par A c) (1) En introduisant I milieu de [AB] :

(1)

Fiche issue de http://www.ilemaths.net

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produit scalaire (première)

Comme I est le milieu de[AB] , donc De plus , comme A , I et B sont alignés dans cet ordre , On en déduit : soit : Il advient :
(1)

L’ensemble des points M est le cercle de diamètre [AB] d) pour tout a positif (2) Onintroduit le milieu I du segment [AB] :

(2)

Si l’ensemble vide. Si

, l’équation n’aura pas de solution. L’ensemble des points M est ,
(2)

L’ensemble des points M représente le cercle decentre I et de diamètre Si , l’ensemble des points M est réduit au point I.

e) pour tout a réel. (3) Même technique que pour le d) , on introduit le point I milieu de [AB]. On obtient alors :

En…