MATRICES
Rang
1. Pour chacune des matrices A suivantes, d´terminer d’abord son rang rA . Trouver ensuite e une matrice B extraite de A carr´e (rA ,rA ) et de rang exactement rA . e ? ? ? ? 1 2 3 1 1 ?4 5 6? 2 ?4 ? ? 2 ?1? a) b) c) ? ?7 8 9? ?3 6 ?4 5 0 1 0 ? ? ? ? ? ? 0 1 0 1 1 ?1 0 1 3 3 ?1 0 1 0? ? 5? d) ? e) ?1 0 1? f ) ??1 1 ?0 1 0 1? 2 1 3 1 ?3 ?9 1 0 1 0 ? ? ? ? 1 1 0 1 1 1 3 ?2 2 0 g) ?0 1 1 2 2? h) ?0 1 ?1 1 2? ?1 0 1 1 3 1 2 ?3 4 1 ? ? ? ? ? ? 0 1 0 1 1 1 1 1 ?1 1 ?2 ?0 ?1 1 2 3? ??1 ?1 ?1? 0 2 2? ? ? ? i) ? j) ? k) ? ?1 ? ?1 2 3 4? ?2 0 1 0 1 ?1? ?4 ?3 0 1 1 3 4 5 ?1 3 ?6 ? ? ? ? 1 1 1 2 1 ?1 1 2 1 1 ?2 3 2 6 3 ?3? ? ? ? 1 1 ?1 ?1? ? ? m) ?3 1 2 3 2 ?2? l) ? ? ? 2 1 1 1? ?4 2 3 5 3 ?3? ?1 1 1 ?2 5 4 3 11 7 ?6

2. Mˆmes questions que dans e param`tres : e ? ? a 1 1 a) ?1 a1? 1 1 a ? 1 ?1 d) ? ?0 0

l’exercice pr´c´dent, mais en discutant suivant les valeurs des e e ? ? ? 3 2 1 1 1 1 ?2 1 2 ? c) ?b + c c + a a + b? 1 3 ? bc ca ab ? ? ? a2 a3 a b 0 1 ? b a 1 0? b2 b 3 ? ? ? e) ? 2? ?0 1 a b ? 2a 3a 2b 3b2 1 0 b a ?

b) a b 1 1

1

Produit
3. On donne les 4 matrices ? 1 ??2? B=? ? ?3? ?4 ? 1 ?4 C=? ?7 0 ? 2 5 8 1 ? 3 6? ? 9? 0 ? 1 0 ?1 0 D = ? 2 ?2 3 ?3? . ?1 2?1 2 ?

A = 1, 2, 3, 4

Quels sont les produits 2 ` 2 de ces matrices qui ont un sens? E?ectuer ces produits. a 4. On donne les 3 matrices ? ? 2 1 0 A = ??1 0 2? 3 ?1 1

B=

5 2 3 ?1

C=

0 ?1 0 ?2 0 3

.

Calculer tous les produits 2 ` 2 qui ont un sens. a 5. On donne les 3 ? 0 1 ??1 0 A=? ?0 0 0 0 matrices ? 0 0 0 0? ? 0 ?1? 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0

0 0 ?0 0 B=? ??1 0 0 ?1 ? 0 0??. 0? 1

?

1 0 0 0

? 0 1? ? 0? 0

0 ?0 C=? ?0 ?1

?

? 0 0 1 0 ?1 0? ? , 1 0 0? 0 0 0

? 1 ?0 et l’on rappelle que I = ? ?0 0 V´ri?er les relations : e

i) A2 = B 2 = C 2 = ?I

, ii) BC = ?CB = A ,

iii) CA = ?AC = B

, iv) AB = ?BA = C .

6.

Trouver pour tout entier positif n, la matrice ? 0 1 1 ?1 0 A= ? 2 ?0 1 1 0

An lorsque ? 0 1 1 0? ? . 0 1? 1 0

7.

Quellessont les matrices (2,2) A telles que AM = M A dans les cas suivants : 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 ?1 0

M1 =

,

M2 =

, 2

M3 =

,

M4 =

.

Dans chacun des cas, peut-on toujours trouver ? et µ tels que A = ?M + µI ? Est-ce toujours vrai pour toute matrice M ? 8. E?ectuer le produit des deux matrices form´es de mots suivantes en omettant les signes e d’op´rations (RaymondQueneau 1964) e ? ? ? ? le a le chat rat lion ? un a un ? ? mang´ d´vor´ d´gust´ ? . e e e e e le avait un poisson fromage touriste

Inverse
? ? 0 1 ?1 On donne A = ?4 ?3 4 ? . 3 ?3 4

9.

Calculer A2 . En d´duire A?1 . V´ri?er en inversant directement A. e e 10. par On note M (a,b,c,d) la matrice (4,4) d´pendant des 4 param`tres r´els a, b, c, d d´?nie e e e e a ?b M (a,b,c,d) = ? ?c d ? b a dc c d a b ? d c? ? b? a

(1) Calculer le produit M (a,b,c,d)M (a ,b ,c ,d ). Que remarque-t-on? (2) Calculer le produit M (a,b,c,d)M (a,b, ? c, ? d). (3) Calculer le produit des quatre matrices M (a,b,c,d)M (a,b,?c,?d)M (a,?b,c,?d)M (a,?b,?c,d) (faire d’abord le produit des deux derni`res). e (4) Trouver un crit`re, portant sur a, b, c, d, pour que M soit inversible et proposer un calcul e deson inverse. 11. On donne les 2 matrices ?

? 2 4 3 A = ?1 3 0 ? 0 ?1 1

? ? ?3 8 ?16 B = ??3 7 ?12? . ?1 2 ?3

Calculer AB et BA. D´terminer (AB)?1 et (BA)?1 . e 12. Calculer l’inverse des matrices suivantes : ? ? 1 2 ?3 1 2 A= B = ?0 1 2 ? 2 5 0 0 1 3

? 2 2 3 C = ? 1 ?1 0? . ?1 2 1

?

13.

Trouver l’inverse des ? 0 1 A1 = ?0 0 1 0 ? ? 1 2 3 A4 = ?0 1 2? 0 0 1

matricessuivantes : ? ? ? 0 0 1 1 1? A2 = ?1 0 1? 0 1 0 0 ? 1 ?2 3 4? A5 = ??4 5 ?3 2 ?1 ?

? 0 0 1 A3 = ??1 0 0? 0 ?1 0 ? 1 1/2 1/3 A6 = ?1/2 1/3 1/4? 1/3 1/4 1/5 ?

?

14.

Soit A une matrice (n,n) telle que A2 = A et A = I. Montrer que A n’est pas inversible.

Trouver toutes les matrices (2,2) autres que I et O, telles que A2 = A. Que peut-on dire de leurs lignes et de leurs colonnes ? a b une…