Correction Maths Exo Exponentielle
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EXPONENTIELLE PROBLEMES 1 CORRIGE

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Pondichéry 2003 On considère la fonction numérique définie sur R par f(x)= x²e x ?1 ?x² . 2

Au vu de cette courbe quelles conjectures pouvez-vous faire sur : a. le sens de variation de f sur [?3 ; 2] ; La courbe semble être croissante sur [-3 ; 2] b. laposition de la courbe par rapport à l’axe (x’x) ? La courbe semble être sous l’axe des abscisses sur ]-? ;0] et au dessus de l’axe des abscisses sur [0 ; +?[ Partie A : Contrôlede la première conjecture. 1. Calculer f'(x) pour tout réel x, et l’exprimer à l’aide de l’expression g(x) où g est la fonction définie sur R par g(x)=(x+2)e x-1 – 1. x² f(x)= x²ex ?1 ? . La fonction f est dérivable sur R et f’(x) = 2xe x ?1 + x²e x ?1 ? x = xg( x) 2 2. Etude du signe de g(x) pour x réel a. Calculer les limites de g(x) quand x tend vers+? puis quand x tend vers ?? .
x ? > +?

lim ( x + 2) = +? ;
x ? > +?

x ? > +?

lim e x = +?

donc

lim g(x) = +?
2 1 xe x + xe x ? 1 : e e

g(x) = 2xe x?1 + x²e x ?1 ? 1 =

2 x 1 xe = 0 ; lim xe x = 0 x ? > ?? e x ? > ?? e donc lim g(x) = ?1 lim
x ? > ??

b. Calculer g’ (x) et étudier son signe suivant les valeurs de x.g(x)=(x+2)e
x-1

– 1. La fonction g est dérivable sur R et g'( x) = e x ?1 + (x + 2)e x ?1 = ( x + 3)e x ?1

Le signe de g’(x) dépend du signe de (x+3) On a :

g'(x) ? 0 ? x + 3 ? 0 ? x ? ?3

car e x ?1 > 0 pour tout x réel.

Donc g’ est positive sur [-3 ; +?[ et négative sur ]-? ; 3]

c. En déduire le sens de variation de lafonction g, puis dresser son tableau de variation. On en déduit que g est décroissante sur [-3 ; +?[ et croissante sur ]-? ; -3].
x Variations de g ? e ?4 ? 1 -? -1 -3 +? +?