Relations d’´quivalence e

´ 1. Definitions D´?nitions-Notation 1.1. Soit E un ensemble. e • Une relation sur E est la donn´e d’un sous-ensemble R de E × E. e • Une relation R sur E est dite (1) r´?exive si l’on a e (x, x) ? R (2) sym´trique si l’on a e (x, y) ? R ? (y, x) ? R (3) transitive si l’on a [(x, y) ? R] ? [(y, z) ? R] ? [(x, z) ? R] ?x, y, z ? E . • Une relation d’´quivalence sur Eest une relation r´?exive, sym´trique et transitive. e e e • En g´n´ral, si R est une relation sur E, on note xRy au lieu de (x, y) ? R. e e Exemple 1 Soit n un entier relatif non nul. Sur l’ensemble Z on d´?nit une relation Rn en posant e xRn y ? n divise y ? x . ?x, y ? E , ?x ? E ,

(Lorsque la mention de n en indice sera rendue super?ue par le contexte, on l’omettra.) C’est une relationd’´quivalence : e ? R´?exivit´ : le nombre 0 est bien divisible par n, on a donc xRx pour tout entier x. e e ? Sym´trie : si n divise y ? x, il divise aussi x ? y. e ? Transitivit´ : si n divise y ? x, il existe un entier k tel que l’on ait l’´galit´ y ? x = kn ; si n divise z ? y, il existe un e e e entier l tel que l’on ait l’´galit´ z ? y = ln ; l’entier n divise donc aussi z ? x puisque l’on a les´galit´s e e e e z ? x = (z ? y) + (y ? x) = kn + ln = (k + l)n .

Exemple 2 Soit E un sous-ensemble de Rn . Notons C 0 (I, E) l’ensemble des applications continues de I := [0, 1] ? R dans E. Alors la relation d´?nie par e xRy ? ?f ? C 0 (I, E) f (0) = x, f (1) = y est une relation d’´quivalence. V´ri?ons-le : e e ? R´?exivit´ : Soit x un ´l´ment de E. Alors l’application constante f : I ? E d´?niepar f (t) = x montre que l’on a e e ee e xRx pour tout x de E. ? Sym´trie : Soient x et y deux ´l´ments de E tels que l’on ait xRy, c’est-` dire tels qu’il existe une fonction continue e ee a f : I ? E v´ri?ant f (0) = x et f (1) = y. Posons g(t) = f (1 ? t). Alors g est continue et l’on a g(0) = y et g(1) = x et e donc yRx. ? Transitivit´ : Soient x, y et z trois ´l´ments de E tels que l’on aitxRy et yRz, c’est-` dire tels qu’il existe une fonction e ee a continue f : I ? E v´ri?ant f (0) = x et f (1) = y et une fonction continue g : I ? E v´ri?ant g(0) = y et g(1) = z. Soit e e h : I ? E la fonction d´?nie par e h(x) = h(t) = f (2t) 1 h(t) = g(2t ? 2 ) si si t ? [0, 1 ], 2 t ? [ 1 , 1] 2 .

Cette fonction h est continue (pourquoi ?) et l’on a h(0) = x et h(1) = z et donc xRz. Exemple3 Soit E un ensemble. On rappelle qu’une partition de E est la donn´e P d’un ensemble de sous-ensembles de E tels que e l’on ait l’´galit´ E = ?P ?P P et la propri´t´ e e ee ?P, P ? P, [P ? P = ?] ? [P = P ] .

Soit P une telle partition d’un ensemble E. Alors la relation R d´?nie sur E par e [xRy] ? [?P ? P, est une relation d’´quivalence. R´ciproquement, e e {x, y} ? P ]

2Proposition-D´?nitions-Notations 1.2. Soit R une relation d’´quivalence sur un ensemble E. e e • Pour x dans E, on note p(x) le sous-ensemble de E constitu´ des ´l´ments y tels que l’on ait xRy. e ee • Le sous-ensemble pR (x) de E est appel´ classe d’´quivalence de x. Souvent, on ´crit pR (x) = x. L’ensemble des e e e ¯ classes d’´quivalence est not´ E/R et appel´ ensemble quotient de E par R. e e e • Si x et ysont des ´l´ments de E, alors on a l’alternative suivante : ee – soit pR (x) = pR (y), – soit pR (x) ? pR (y) = ?. Autrement dit, l’ensemble quotient E/R de E par R est une partition de E. • On appelle projection canonique l’application (surjective) pR : E ? E/R. ´ Demonstration : exercice. Exemple 1 (suite) Disons que n est strictement positif, et reprenons la relation R d´crite dans l’exemple 1ci-dessus. L’ensemble quotient e Z/R est en g´n´ral not´ Z/nZ. On a les ´galit´s e e e e e pR (0) pR (1) pR (k) n?1 = = = = ¯ 0 ¯ 1 ¯ k ?1 = = = = {. . . , ?2n, ?n, 0, n, 2n, . . . } {. . . , ?2n + 1, ?n + 1, 1, n + 1, 2n + 1, . . . } {. . . , ?2n + k, ?n + k, k, n + k, 2n + k, . . . } {. . . , ?2n ? 1, ?n ? 1, ?1, n ? 1, 2n ? 1, . . . } .

0, l’ensemble quotient Z/nZ = ¯ . . . , n ? 1…