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Résolution des équations algébriques.La recherche des solutions des équation algébriques a amener la naissance de la notation algébrique, de la notion d’algorithme ainsi que de celle de groupe

Une équation algébrique de degré n est une équation de la forme
xn+an-1xn-1+…+a1x+a0
D’inconnue x et de coefficients an-1,… ,a1, a0 complexes. Le théorème fondamentale de l’algèbre assure qu’une telle équation possède exactement nsolutions complexes comptées avec leurs ordres de multiplicité. Au cours de l’histoire, on a cherché à résoudre ces équations au moyen d’extraction des radicaux. Cette méthode issu des exemples simples des degrés un et deux fonctionne jusqu’au degré quatre.

L’antiquité

Les égyptiens se sont intéresses a la résolution d’équation algébriques de degrés n. dans le papyrus de Rhin ( vers 1700 avantJésus-Christ) , on trouve des problèmes du type :
« une quantité et une portion de celle-ci vaut tant, qu’elle est quantité ? »
Les babyloniens savaient également résoudre des problèmes conduisant à des équations de degré deux, comme par exemple :
« la surface d’un quart, ajoutée à son coté, est égale a ¾, quel est le côté du carré ? »
Dans tous les cas, les problèmes posé étaientnumériquement concrets et la résolution des équations était purement verbale. Il n’existait pas encore de symbolisme mathématique. Les grecs savaient eux aussi résoudre des équations du premiers et du second degré, mais n’abordaient celles-ci que d’un point de vue géométrique. L’histoire montre qu’un problème purement technique peut amener la naissance de concepts théoriquement profonds.

L’algèbre arabeL’essor de l’algèbre a eu lieu au début du IXe siècle dans les bibliothèque de Bagdad. Les arabes découvrent, en les traduisant, les écrits grecs et ils les complètent. De surcroit, ils profitent de la notation décimale de position moderne découverte par les indiens. Al Khwarizmi étudie et résout les équation algébrique de degrés deux, en commençant par ajouter, de part et d’autre de chaquemembre, des quantités de sorte de faire disparaitre les quantités négative. Cette manipulation, appelée al-jabr st a l’origine de la dénomination algèbre. Al Khwarizmi présente alors chaque type d’équation possibles :
ax2=bx, ax2=bx+c ,etc.
Puis donne les règles de résolution de celle-ci accompagnées de démonstrations de nature géométrique. La démarche d’Al Khwarismi est nouvelle, il ne partplus d’un problème concret pour le résoudre, mais donne des méthodes de résolution générales qu’il suffit d’appliquer pas à pas. Il invente la notion d’algorithme, ce mot est d’ailleurs une déformation du nom de ce mathématicien.

La Renaissance

Des lors, on sait résoudre les équations algébriques de degrés deux, mais que se passe-t-il pour les équation de degrés supérieurs ? Fibonacci(1180–1250), qui fera connaître la science arabe à l’Italie,
sait montrer que l’équation

x3+2×2+10x=20

ne peut être résolue par combinaison de racines carrées, et approximer une racine avec six chiffres après la virgule. Fibonacci pense qu’il n’est pas possible de résoudre algébriquement les équation du troisième degré, les mathématiciens du nord de l’Italie vont le contredire. Au XVIe siècle, lemathématicien Del Ferro (Scipione del Ferro né à Bologne le 6 février 1465 – décédé à Bologne le 5 novembre 1526, est un mathématicien italien, célèbre pour avoir trouvé le premier la méthode de résolution d’équation de troisième degré sans terme quadratique) parvint à trouver certaines solutions d’équations du troisièmes degré. Il montre vers 1500 que l’équation

x3+px+q=0

a pour racine…