Systèmes mécaniques oscillants

I Définition

On appelle système mécanique oscillant ou oscillateur mécanique tout système de centre d’inertie G dont le mouvement est périodique, c’est-à-dire qu’il se reproduit identique à lui-même dans des durées égales, et s’effectue autour d’une position d’équilibre stable.

Remarque

Un objet est dit en équilibre stable si, quand l’on écartelégèrement de cette position d’équilibre, il y revient naturellement. S’il n’y revient pas naturellement, alors l’équilibre est instable.

Equilibre instable Hors équilibre Equilibre stable

II Cas du pendule oscillant

1. Pendule pesant

Un pendule est pesant est un système mécanique oscillant autour d’un axe horizontal ne passant pas par son centre d’inertie.

Unpendule pesant possède deux positions d’équilibre mais ne peut osciller qu’autour de sa position d’équilibre stable.

2. Pendule simple

Il est constitué d’un objet de masse m accrochée à l’extrémité d’un fil inextensible de masse négligeable devant celle de l’objet. Son centre de gravité G est alors celui de l’objet.

? Abscisse angulaire : [pic]L’abscisse angulaire est nulle lorsque le pendule est dans sa position d’équilibre.

? Amplitude : [pic]

L’amplitude des oscillations est la valeur maximale de l’abscisse angulaire.

? Période propre : [pic] avec l en mètres, g en m.s-1 et T0 en secondes.

La période propre est la durée entre deux positions successives équivalentes du pendule. Pour de petites oscillations, onmontre que sa période propre ne dépend ni de la masse de l’objet ni de l’amplitude des oscillations (loi d’isochronisme des petites oscillations du pendule simple).

? Fréquence propre : [pic] avec f0 en Hertz et T0 en secondes.

? Régimes d’oscillations libres : un oscillateur est dit libre s’il n’est soumis à aucun apport d’énergie après avoir été lâché.

Oscillations libres nonamorties : le mouvement oscillatoire se reproduit indéfiniment identique à lui-même. ?max est alors une constante au cours du temps.

Oscillations libres amorties : le mouvement ne se reproduit pas exactement identique à lui-même car il y a amortissement de l’amplitude. On parlera alors de pseudo-période. Celle-ci pourra, pour des oscillations faiblement amorties, être considérée comme égale à lapériode propre du système, mais dans le cas d’oscillations fortement amorties, la pseudo-période sera toujours supérieure à la période propre du système.

Oscillations libres très fortement amorties : le mouvement n’est plus oscillatoire, le régime est dit « apériodique ».

III Cas du système « ressort-solide »

1. Force de rappel exercée par un ressort

Soit une masse msuspendue à un ressort à spires non jointives de masse négligeable et de raideur k dont une extrémité est fixe. La longueur à vide du ressort est AB0, sa longueur à l’équilibre est ABéq et sa longueur à tout instant t durant les oscillations de la masse est AB(t).

? A l’équilibre de la masse, la force de rappel exercée par le ressort sur la masse est :

[pic]

? A tout instant t, la forcede rappel exercée par le ressort sur la masse est :

[pic]
2. Oscillations élastiques verticales

Si l’on écarte la masse suspendue de sa position d’équilibre et qu’on la lâche (instant t0), on observe des oscillations autour de cette position d’équilibre. Le système « ressort – masse » est un oscillateur mécanique.

Exprimons la période propre des oscillations : l’expériencemontre que la période propre des oscillations dépend uniquement de la masse choisie et de la constante k du ressort. On peut donc écrire :

[T0] = C . [M]a . [k]b or [k] = N.m-1 et N = m.kg.s-2

donc [T0] = (kg)a . (kg)b . (s)-2b or [T0] = s

d’où a + b = 0 a = – b a = 1/2
-2b = 1 b = – 1/2 b = – 1/2

On peut donc exprimer la période des oscillations sous…