Algebre lineaire
Alg`bre lin´aire dans Rn e e Licence de Sciences et Technologie Deuxi`me semestre e
Julien Br´mont et Rapha¨l Danchin e e Ann´e 2008–09 e
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Table des mati`res e
1 Syst`mes lin´aires e e 1.1 Quelques exemples ´l´mentaires . . . . . . . . . . . . . . . . ee 1.2 D´?nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.3 R´solution des syst`mes ´chelonn´s . . . . . . . . . .. . . . e e e e 1.3.1 Syst`mes triangulaires a diagonale non nulle . . . . . e ` 1.3.2 Syst`mes ´chelonn´s . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e e 1.4 M´thode du pivot de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.5 Structure de l’ensemble des solutions d’un syst`me lin´aire . e e 1.5.1 Un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2 Cas des syst`mes homog`nes . . . . . . . .. . . . . e e 1.5.3 Cas g´n´ral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e 2 Vecteurs 2.1 Rappels sur les vecteurs du plan . . . . . 2.2 Vecteurs en dimension n . . . . . . . . . . 2.3 Familles de vecteurs . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Combinaisons lin´aires . . . . . . . e 2.3.2 Sous-espaces vectoriels engendr´s . e 2.3.3 Familles g´n´ratrices, familles li´es, e e e 2.3.4 Bases . . . . .. . . . . . . . . . . 2.4 Vecteurs et syst`mes lin´aires . . . . . . . e e 2.5 Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Produit scalaire et orthogonalit´ . . . . . e 7 7 8 10 10 10 11 14 14 14 15 17 17 18 20 20 20 22 23 25 27 28 31 31 31 32 32 33 33 34 35 36 36 37 38 38 39 40
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3 Matrices 3.1 Espaces de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 D´?nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . e 3.1.2 Op´rations lin´aires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e 3.1.3 Transposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Produit de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 D´?nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 3.2.2 Multiplication de matrices et syst`mes lin´aires . . . . . . . e e 3.2.3 Propri´t´s dela multiplication de matrices . . . . . . . . . ee 3.3 Matrices carr´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 3.3.1 D´?nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 3.3.2 Alg`bre des matrices carr´es . . . . . . . . . . . . . . . . . e e 3.4 Rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Rang d’une famille de vecteurs . . . .. . . . . . . . . . . . 3.4.2 Rang d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.3 Calcul du rang d’une famille de vecteurs par pivot de Gauss 3
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4 3.5
` TABLE DES MATIERES Matrices inversibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1 D´?nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 3.5.2 Propri´t´s des matrices inverses . . . . . . . . . . . . ee 3.5.3 Calcul de l’inverse par la m´thode du pivot de Gauss e Interpr´tation matricielle de la m´thode du pivot de Gauss e e 3.6.1 Matrices…