echerch e Expression de la dérivée d’un polynôme en fonction des translatés de ce dernier et application à la distributio n de Wigner-Ville Polynomial e
Expression of the Derivative of a Polynomial in Term s of its Shifted Versions and Application to the Polynomial Wigner-Ville Distribution
par Messaoud BENIDI R
Univ. Paris-Sud, Laboratoire des Signaux et Systèmes, Supelec Plateau de Mouton,91192 Gif-sur-Yvette, France tel : (1) 69 851717 fax : (1) 69 41 30 60 e-mail : benidir@lss .supelecfr

Résumé
On propose une représentation d’un polynôme ~i(t) comme une combinaiso n linéaire des N polynômes 0(t — tk) où t 0i . . ., tN sont des paramètres arbitraires . On montre que les coefficients de cette combinaison linéaire sont les mêmes pour tous les polynômes de degré < N. Ceci permetd'exprimer 0(t) en fonction de t, to, . . . , t N et O(to), . . . , O(t N ) . Une représentation similaire de la dérivée 0' comme combinaison linéaire des N polynômes 0(t — tk ), k _ 0, . . . , N est discutée . On démontre en particulier que la dérivée d'un polynôme de degré < 2q est égale à une combinaison linéaire de q taux d'accroissement de calculé s autour de q points arbitraires ro, . , rq .Comme applications, on donne quelque s extensions des propriétés de la distribution de Wigner-Ville polynomiale proposée dans [2] [3] .
Mots clés : Polynôme, Dérivée, Distribution de Wigner-Ville .

Abstrac t
A representation of a polynomial ‘ is proposed as a linear combination of N polynomials ~(t — t k ) whereto, . . ., tN are arbitrary parameters . One establishes that the coefficientsappearing in this representation are the same for all the polynomials of degree < N. This representation allows to express 1(t) in term s of t, to, . . . , tN and 0(to), / (tN) . A similar representation of the derivativ e q'(t) as a linear combination of N polynomials tk ) is discussed. It is shown that the derivative of any polynomial of degree < 2q equals a linea r combination of q arbitraryincrement rates of 0(t) calculated around q arbitrary points -ro, . . . , Tq . As applications, one gives some extentions of the properties of the polynomial Wigner-Ville distribution proposed in [2], [3] . Key words : Polynomial, Derivative, Wigner-Ville distribution . 1. Introduction On rencontre souvent des problèmes de traitement du signal o ù l’on doit calculer la valeur d’un polynôme enun point connaissan t seulement les valeurs de ce dernier sur un certains ensemble d e points . De même, le calcul de la dérivée d’un polynôme est u n problème assez courant dans beaucoup de situations pratiques . Par exemple, les signaux du type z(t) = 0 0(0 où 0(t) désigne une phase polynomiale se rencontrent dans le traitement des signaux radar. L’ analyse et la détection de tels signaux faitintervenir la notion de la fréquence instantanée (FI) définie par la dérivée du polynôme 0(t) . Signalons que cette définition est utilisée pa r abus de langage . Ainsi des techniques récentes ont été introduite s pour traiter ces signaux . Parmi ces techniques, on peut citer le s transformations intégrales [1] et les distributions temps-fréquenc e de Wigner-Ville polynomiales (WVP) [2], [3] .La définition de la distribution de WVP est fondée sur l’estimation de la dérivée 0′(t) par une combinaison linéaire des translatés 0(t — tk ) où les t k sont des instants fixés . Ce papier a été motivé par l a recherche d’une expression exacte de la dérivée d’un polynôm e comme combinaison linéaire des translatés ç (t —t k ) . L’expression
Re Expression ede la dérivée d’un polynômee h e re h
obtenue pour la dérivée permet d’étendre certaines propriétés d e la distribution de WVP proposée dans [2], [3] . que la relation (5) est une décomposition particulière dont nou s allons démontrer, dans cette section, l’existence et pour laquell e nous allons montrer que les coefficients a k sont les mêmes pour tous les polynômes de degré < Q . Pour simplifier la présentation du...