exercice 1 : 1) soit f une fondtion croissante de R dans R telle que : f(1)=e et ?(x, y) ? R2 , f(x) f(y) = f(x + y) a) calculer f(0) 1 b) Montrer que , pour tout x ? R , f(x) = 0 et f(?x) =f(x) c) Montrer que , pour tout x ? R , f(x) > 0 d) Montrer que , pour tout x ? R et tout n ? N , f(nx) = (f(x))n e) Montrer que , pour tout p ? Z, f(p) = ep f) Montrer que , pour tout r ? Q, f(r)= er g) Calculer f(x) pour tout x r´el. e 2) D´crire l’ensemble des fonctions croissantes f : R ? R e telles que : ?(x, y) ? R2 , f (x) f (y) = f (x + y) . exercice 2 : On pose f(x) = exx si x= 0 et f (0) = 1 ?1 2 3 On admet que ex = 1 + x + x + x + x3 ?(x) au voisinage de 0 , avec 2 6 ?(x) qui tend vers 0 quand x tend vers 0 , soit 2 3 ex = 1 + x + x + x + o(x3 ) au voisinage de 0 26 C d´signe la courbe repr´sentative de f dans le rep`re orthonorm´ direct e e e e ? ? ? ? (O, i , j ). 1) a) Montrer que f est d´rivable en 0 et pr´ciser f ? (0). e e b) Donner une ´quationcart´sienne de la tangente T ` C au point e e a d’abscisse 0 et pr´ciser la position de C par rapport ` T au voisinage de 0. e a Faire une ?gure. . 2) On consid`re l’´quation di?´rentielle e e e x? x (E) : (e ? 1) y + e y =1 a) R´soudre (E) sur chaque intervalle ]-?, 0[ et ]0,+?[. e b) R´soudre (E) sur R. e . ´ 3) a) Etudier la limite de f (x) + x quand x tend vers -?. ´ b) Etudier ,pour tout x < 0, la signe de f (x) + x. c) Faire l’´tude des asymptotes pour f . e . 4) On pose g(x) = f (x) ? 1 + x , ?x ? R 2 a) Montrer que , ?x = 0 , f (x) =
x 2 1 th( x ) 2

?1

b) End´duire , pour tout r´el x , une expression simple de g(x) ` l’aide de la e e a fonction t d´?nie sur R par : e

1 1 t(x) = th(x) ? x si x = 0 et t(0) = 0 c) Montrer que g est paire. Quellepropri´t´ g´om´trique peut-on en d´duire ee e e e pour C ? . ´ 5) a) Etudier les variations de f sur R. b) Donner l’allure de la courbe C en tenant compte des r´sultats pr´c´dents. e e e

2…