CCP MP PHYSIQUE I 2008 Corrigé Par Mohamed ELABDALLAOUI Professeur agrégé de physique chimie CPGE Lycée Ibno Timia MARRAKECH

– MÉCANIQUE –

I. Étude sommaire
1. Détermination des caractéristiques de l’oscillateur ? ?? ? x 1-a) La RFD donne mx + ? x + kx = 0 ?? + 2? x + ?02 x = 0
2 1-b) le régime est pseudo-périodique ? 2 ? ?0 < 0 Solutions de l’équation caractéristique r1 = ?? + j ?02? ? 2 r2 = ?? ? j ?02 ? ? 2 et x(t ) = A cos ? ?02 ? ? 2 t + ? ? exp? ?.t A et ? deux constantes dépendant des conditions ? ? ? ? initiales. 20? 1-c) ?t = 10T = donne ? = 5, 23.rad / s la pseudo période ?
x0 2m x0 = exp ?.?t donne ? = ln x1 ?t x1

(

)

? = 4,8.10?3 Kg .s ?1 ? = 0, 024

2 ? = ?0 ? ? 2 ? k = ( ? 2 + ? 2 ) m k = 2,7 N .m ?1

2. Mesure d’une accélération 2-a) R(G , x, y , z) n’est pas galiléen il faut ajouter f ie = ? maie = ?ma (G ) = ma? 2 cos ?t.ex et f ic = 0 ? ?? ? x mx + ? x + kx = ma? 2 cos ?t ?? + 2? x + ?02 x = a? 2 cos ?t 2-b) 2 ?? ? X (t ) = A exp j (?t + ? ) solution de X (t ) + 2? X (t ) + ?0 X (t ) = a? 2 exp j?t

X (t ) =

a? 2 exp j?t 2 ?? 2 + 2? j? + ?0 a? 2

? A = X (t ) =

(?
a? 2
2

2 0

??

2 2

) + ( 2?? )
2

2

et ? =? arctan

2?? ?02 ? ? 2

x(t ) =

(?

2 0

??2

) + ( 2?? )

? ? 2?? ? ? cos ? ?t ? arctan ? 2 2 ?? ? ? ? ?0 ? ? ? ? ?

2-c) Le maximum représente la résonance a? 2 X0 = ? y= 2 2 ?02 ? ? 2 ) + ( 2?? ) (

u2

(1 ? u )

2 2

? ? ? +?2 u? ? ?0 ?

2

http://cpge-casablanca.hautetfort.com/

M-ELABDALLAOUI

1/12

2u dy = du

(1 ? u )

2 2

2 2 ? ? ? 1 2? ? ? ? ? 22 + ? 2 u ? ? u ? (1 ? u ) + ? 2 u ? ? ? ? ?0 ? 2 ? ? ?0 ? ? ?

?1/ 2

2 ? ? ? ? ? 2 ? ?4 (1 ? u ) u + 2 ? 2 ? u ? ? ? ? ?0 ? ? ?

(1 ? u )
2u (1 ? u
2 2

2 2

? ? ? +?2 u? ? ?0 ?

2

dy = du

)

2 2 ? ? ? 1 2? ? ? ? ? 2 + 2u ? 2 u ? ? u ? ?4 (1 ? u ) u + 2 ? 2 ? u ? ? ? ?0 ? 2 ? ? ?0 ? ? ? 2 ? ? ? ? ? 2 2 ? (1 ? u ) + ? 2 u ? ? ? ? ? ?0 ? ? ? 2 3/ 2

? ? ? 2u (1 ? u ) + u? 2 u ? ? ?0 ? = 2 3/ 2 ? ? ? ? ? 2 2 ? (1 ? u ) + ? 2 u ? ? ? ? ? ?0 ? ? ?
4

1 2Q 2 Une réponse simple : Graphiquement le maximum est obtenu pour u > 1 c’est-à-dire cette situation 1 ne se présente que si ? < (cours) 1? dy = 0 ? x = 0 ou x = du 1 avec Q = ?0 2? ? = 7 ? u = 1,35 ?0 y = 1,6 ? a = X0 = 0,125m y 2-d) http://cpge-casablanca.hautetfort.com/M-ELABDALLAOUI 2/12 ?? 2 X 02 1 2 ? ? P = Fv = ? ? x et < P >= ? ? ? x dt < P >= ? 2 T 0
T

2

( < cos 2 >=

1 ) 2

II. Amélioration du dispositif
1. On suppose que le mouvement a lieu sans glissement 1-a) La vitesse de glissement est nulle ? ? ? ? ? ? V ( I ) = V (G ) + ? ? GI = xex + ?ey ? ?aez = xex + ?ey ? ? aez = x ? a? ex = 0

(

)

(

) (

)

? ? x = a?
1-b) Ec = 1-c)Em =

3 1 2 1 ?2 1 2 1 2 ?2 ? ? ? mx + J? = mx + ma ? ? Ec = mx 2 4 2 2 2 4

2k 3 2 1 2 ? x x=0 mx + kx = Cste ? ?? + 3m 4 2

x(t ) = x0 cos(?t ) avec ? =

2k 3m

1-d) Le mouvement s’effectue sans glissement si T < f N 1 2 ?? Le TRC s’écrit T ? kxex = mxex ? T = ( k ? m? 2 ) xex ? T = m?0 x et 3 3 fg 1 1 2 N = mg ? m?0 x < fmg or x ? x0 donc il faut que m?02 x0 < fmg et x1 = 2 x1 =0, 26m ?0 3 3 2. On se place dans le cas où xo>x1 et on étudie la première phase de glissement 2-a) T = f0 N vglissement ? 0 T est colinéaire à vG de sens contraire
2-b) ?? mxex = T ? kxex

? ? ?? x Vglissement = x ? a? ex ? mx + kx = ? fmg ? ?? + ? 2 x = ? fg ? x (t ) = ?
? 2 ? 1 1 ? ? x (t ) = ? x1 + ? x0 + x1 ? cos ? ?0t ? ? 3 ? 2 2 ? ? ? ? 2-c)

(

)

fg ? ? + ? x0 + 2 ? cos ?t ? ?? ? fg
2

http://cpge-casablanca.hautetfort.com/

M-ELABDALLAOUI

3/12

?? Le TMC s’écrit : J? ey = GI ? T = ?aez ? ? fmgex = fmgaey
d? fmga = t dt J 2-d)

?? ? ? 2 ? 2 1 ? 2 2 Vglissement = ? ? x0 + x1 ? ?0 sin ? ?0t ? ? x1?0 .t ? ex ? 3 ? ?? ? 2 ? 3 ? ? 3 ? ?
2-e) ? 2 ? 2 sin ? ?0t ? ? ?0 t ? 3 ? 3 ? ? 2 2? 1 ? ?? ? 1 ?2 2 Vglissement = ? ? x0 + x1 ? ?02t ? x1?02 .t ? ex ?…