Chapitre 16 Arithmétique dans Z
La mathématique est la reine des sciences et la théorie des nombres la reine des mathématiques (Gauss).
A L’anneau (Z,+,×)
On admettra qu’on peut construire l’anneau (Z,+,×) à partir de N. L’anneau (Z,+,×) est intègre. Le groupe multiplicatif, Z× des inversibles de l’anneau Z est {?1,1}L’anneau (Z,+,×) est intègre.
1 Diviseurs et multiples
Définition 1 On dit que a?Z divise b?Z s’il existe c?Z tel que ac=b. On dit alors aussi que b est un multiple de a. Et on écrit a|b.
On dit qu’un entier a?Z est pair si 2|a. On dit qu’un entier est impair s’il n’est pas pair.
Proposition 2 La relation a|b sur l’ensemble Z est transitive et réflexive. De plus : (a|b ? b|a) ?? (a=b ? a=?b). On a a|0, 1|a et ?1|a pour tout a?Z.
Remarque 3 Deuxentiers égaux ou opposés sont dit associés. Deux entiers sont associées si et seulement s’ils sont égaux à un facteur inversible près (car les inversibles de Z sont 1 et ?1). Deux entiers associés ont les même diviseurs et les même multiples. Dans les problème de divisibilité, on peut donc sans inconvénient raisonner à un facteur inversible près. Concrètement, on pourra toujours se ramener à desentiers positifs.
2 Division euclidienne
3 Sous-groupes de (Z,+)
Soit a?Z. On note aZ:={an,n?Z}={b?Z, a|b} l’ensemble des multiples de a. C’est un ensemble infini, sauf si a=0. On a 0Z={0}, 1Z=Z. Pour tout a?Z, aZ=(?a)Z.
Proposition 4 Soit a?Z. Alors :
* a divise 0.
* Si a divise deux entiers, alors il divise aussi leur somme.
* Si a divise un entier, alors il divise aussil’opposé de cet entier.
De façon plus concise : l’ensemble aZ est un sous-groupe de (Z,+).
Remarque 5 Si a divise b, alors a divise tout multiple de b, c’est évident.
Rappelons le théorème fondamental suivant, démontré dans un chapitre antérieur :
Théorème 6 (classification des sous-groupes de (Z,+)) Soit H? Z un sous-groupe de (Z,+). Alors il existe un unique a?N tel que H=aZ.
Remarque 7 Vous avez fait mieux en devoir en classifiant les sous-groupes de (R,+).
B Nombres premiers
Définition 1 On appelle nombre premier tout entier ? 2 sans diviseur non trivial. Un entier non premier est dit composé.
Remarque 2 (utile pour écrire un programme de test de primalité) Un entier n? 2 est composé si et seulement si n admet un diviseur d tel que 2? d? ?n.
Proposition 3 Soitn? 2 un entier. Alors n admet un plus petit diviseur ? 2 et celui-ci est un nombre premier.
Corollaire 4 Tout entier n? 1 est un produit de nombres premiers.
Remarque 5 Un peu plus loin, on va améliorer ce résultat : ce sera le théorème fondamental de l’arithmétique.
L’ensemble des nombres premiers, souvent noté P, fascine depuis longtemps. En effet, il semble «imprévisible» et«chaotique», même si, par ailleurs, on peut démontrer certains résultats remarquables à son sujet, le premier d’entre eux étant :
Théorème 6 (Euclide) L’ensemble des nombres premiers est infini.
Proof. Supposons au contraire qu’il soit fini. Notons p1, …, pn les nombres premiers. On considère N:=p1 p2? pn + 1 . On a N? 2 donc N admet un facteur premier (par exemple son plus petit diviseur non trivial),que nous notons p. Le nombre p est l’un des pi donc p divise p1 p2 ? pn. Comme p divise aussi N, il divise la différence N?p1 p2? pn=1, ce qui est absurde.

Remarque 7 Voici quelques résultats et conjectures :
1. Il existe des intervalles aussi grand qu’on veut sans nombre premiers (exercice).
2. Pour tout entier n? 2, il existe un nombre premier p tel que n 3. On conjecture qu’il existe une infinité de couples (p,q) de nombres premiers avec q=p+2 (conjecture des nombres premiers jumeaux).
4. Si on note ?(x) le nombre de nombres premiers ? x (x étant un réel quelconque), on a ?(x)? x/ln(x) lorsque x? +?. C’est le théorème des nombres premiers, résultat difficile démontré en 1896 avec des technique d’analyse !…