Synthèse de cours PanaMaths (CPGE) Arcs paramétrés
Préambule
Certains auteurs préfèrent à « arc paramétré » la dénomination de « courbe paramétrée ». Dans ce document, nous utiliserons la première dénomination.

Définitions
Arc paramétré
On appelle « arc paramétré » toute application continue d’un intervalle I de affine E de dimension finie : ? :I ? E t M (t ) dans un espace

Nous nouslimitons ici au cas où E est de dimension 2. On rapporte E à un repère ( O, i , j ) et on a alors : M ( t )

x (t ) y (t )

, et on dit alors que « l’arc paramétré est défini en coordonnées r cos ? , et on dit alors que « l’arc paramétré est défini en r sin ?

cartésiennes », ou M ( r ,? )

coordonnées polaires ». L’ensemble des points M obtenus constitue le graphe de ? . En traçant dans leplan la courbe correspondante, on obtient la courbe représentative du graphe de ? . Nous la noterons ? .

Arcs paramétrés en coordonnées cartésiennes
Domaine de définition
Les variables x et y étant des fonctions du paramètre t, elles sont définies sur Dx et Dy respectivement. L’ensemble de définition de l’arc ? est alors : D? = Dx ? Dy

Domaine utile
Notion de reproduction de la courbe. Onappelle « Domaine utile », noté D?u , le plus petit sous-ensemble de D? tel que lorsque t varie dans D?u l’arc est parcouru une fois et une seule dans sa totalité.

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Janvier 2002

Domaine d’étude
Notion de symétrie de la courbe. On appelle « domaine d’étude » tout sous-ensemble D?E de D?u tel qu’il existe une bijection

? entre D?E et D?u ? D?E .
En notant ? ( t ) = t ‘ , ona les cas de figure classiques suivants :
Relations entre x ( t ) , y ( t ) , x ( t’ ) et y ( t’ ) Propriété géométrique de la courbe représentative de l’arc ? Symétrie axiale par rapport à l’axe de abscisses

x ( t ‘) = x ( t ) y ( t ‘) = ? y ( t ) x ( t ‘) = ? x ( t ) y ( t ‘) = y ( t ) x ( t ‘ ) + x ( t ) = 2a y ( t ‘) + y ( t ) = 2b x ( t ‘) = y ( t ) y ( t ‘) = x ( t ) x ( t ‘) = ? y ( t )y ( t ‘) = ? x ( t )

Symétrie axiale par rapport à l’axe des ordonnées Symétrie centrale par rapport au point A de coordonnées (a,b) (cas particulier : a = b = 0 : le centre de symétrie est l’origine) Symétrie axiale par rapport à la première bissectrice Symétrie axiale par rapport à la deuxième bissectrice

Si on ne peut exhiber une telle bijection, on étudie l’arc sur D?u : D?u = D?E .Branches infinies
Soit : ? : ]a, b[ ? E (les bornes a et b pouvant être infinies). On dit que « ? admet une branche infinie en b » (resp. a) si on a :
t ?b ?

lim OM = +? (resp. lim OM = +? ) +
t ?a

Note : l’existence d’une branche infinie est indépendante de l’origine choisie. Les différents cas de figure possibles sont les suivants (nous traitons la problématique des limites en b, lesrésultats sont bien sûr analogues en a) : 1. lim x(t ) = x0 et lim y (t ) = ±? ? ?
t ?b t ?b

Asymptote d’équation x = x0 ;

2. lim x(t ) = ±? et lim y (t ) = y0 ? ?
t ?b
t ?b

t ?b
t ?b

Asymptote d’équation y = y0 ; plusieurs cas de figure sont possibles :

3. lim x(t ) = ±? et lim y (t ) = ±? ? ? a. lim ?
t ?b

y (t ) =0 x (t )
y (t ) = ±? x (t )

Branche parabolique dedirection Ox (axe des abscisses) ; Branche parabolique de direction Oy (axe des ordonnées) ;

b. lim ?
t ?b

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c. lim ?

y (t ) =? Direction asymptotique d’équation y = ? x . t ?b x ( t ) On a alors deux cas de figure possible : Branche parabolique de direction • lim ( y (t ) ? ? x ( t ) ) = ±? ?
t ?b

•

t ?b ?

lim ( y (t ) ? ? x ( t ) ) = ?

y =?x ;Asymptote d’équation : y = ? x + ? .

Points limites
Soit : ? : ]a, b[ ? E (les bornes a et b pouvant être infinies). On dit que « ? admet un point limite en b » (resp. a) si on a : x0 x0 (resp. lim M ( t ) = B ) lim M ( t ) = B ? + t ?b t ?a y0 y0 On exhibe donc un point limite lorsque l’on a : lim x ( t ) = x 0 et lim y ( t ) = y0 . ? ?
t ?b t ?b

Note : un « point limite » peut aussi être…