INTÉGRALES IMPROPRES
Prérequis : Fonctions numériques – Développements limités – Calcul intégral – Théorème de la limite monotone

1

Généralités
Dans ce paragraphe K désigne R ou C.

1.1 Dé?nition : Soient a ? R et b ? R ? {+?}. Soit f : [a, b[? K une fonction continue
x

par morceaux. On pose F (x) =
a b

f (t) dt pour tout x ? [a, b[. On dit que f admet une

intégrale impropresi F (x) admet une limite quand x ? b par valeurs inférieurs. On note alors
a

f (t) dt cette limite.

Remarque : • Si b ? R et si f est dé?nie et continue par morceaux sur [a, b], alors F est continue sur [a, b] de sorte que f admet une intégrale impropre qui coïncide avec l’intégrale de f sur [a, b]. • On dé?nit de même la notion d’intégrale impropre sur la borne inférieure de l’intervalle.Soient a ? R et b ? R. Soit f :]a, b] ? R une fonction continue par morceaux. On pose
x

F (x) =
a

f (t) dt pour tout x ?]a, b]. On dit que f admet une intégrale impropre si
b

F (x) admet une limite quand x ? a par valeurs supérieurs. On note alors cette limite. • Remarques sur les dangers de la linéarité. Exemples : +? dt • converge si, et seulement si ? > 1 t? 1 1 dt • converge si,et seulement si ? < 1 ? 0 t
+? a

f (t) dt

•
0 1

e?ct dt converge si, et seulement si c > 0 ?
0 1

• •
0

dt ? = 2 1 ? t2

ln t dt = ?1

1.2 Proposition : EN UNE POINT FINI b, il su?t de montrer que f tend vers une constante pour assurer la convergence de son intégrale impropre. On parle d’intégrale FAUSSEMENT impropre en b. Démonstration : En e?et, dans ce cas f se prolonge enune fonction continue sur le segment [a, b]. Remarque : Ce point est très utile mais n’est pas néanmoins nécessaire : en un point 1

?ni, une fonction qui tend vers l’in?ni peut avoir aussi une intégrale qui converge par 1 exemple ln ou ? en 0+ . De plus, en un point b = +?, la proposition tombe en défaut. En e?et l’application inverse tend vers 0 en +? et pourtant son intégrale impropre auvoisinage de +? diverge. On retiendra qu’il ne peut pas y avoir d’intégrale faussement impropre en l’in?ni. 1.3 Proposition : (Caractère local) Soit c ? [a, b[ et soit f continue par morceaux sur
b b

[a, b[. Alors
a

f (t) dt converge si, et seulement si
c b c

f (t) dt converge. Dans ce cas, on a :
b

f (t) dt =
a +? a

f (t) dt +
c

f (t) dt

Exemple :
??

dt =? 1 + t2
bRemarque : • Soit f ? CM ([a, b[). Soit c ? [a, b[. L’étude de la convergence de
c a 0

f (t) dt revient à
y

l’étude de la convergence de
x

f (t) dt en a puis à l’étude de la convergence de
y x c

f (t) dt

en b. C’est aussi équivalent à la convergence de

f (t) dt quand (x, y) tend vers (a, b).

• Si f possède un nombre ?ni de points où elle n’est pas dé?nie, on traite lesdi?cultés séparément.
+?

• Par contre la convergence de
x ?x ??

f (t) dt n’est pas équivalente à la convergence de

f (t) dt quand x ? +?. Par exemple pour f (t) = t sur R.
+?

1.4 Proposition : (Mise en garde) Soit f : [a, +?[? K. Pour que il n’est ni nécessaire ni su?sant que lim+? f = 0. Exemples : • f (t) =
1 1 t a

f (t) dt converge

sur [1, +?[
1 2n

• Fonction en dents descie de hauteur 1 et de demi-largeur •
0

centrée en les entiers.

ln t dt converge alors que lim ln = ??
0

On lira avec attention, à ce sujet, le paragraphe sur les contre-exemples.

2
2.1

Calculs d’intégrales impropres
Recours à une primitive

On utilise directement la dé?nition. On cherche une primitive de la fonction et on passe à la limite. Il est important de raisonner endeux temps i.e en prenant des précautions quant à la borne qui pose problème. En e?et une opération simple comme la linéarité de 2

l’intégrale propre peut conduire à manipuler des intégrales divergentes dans le cadre des intégrales impropres. Exemples :
+?

• Calcul de
0

dt (t + 1)(t + 2) . . . (t + n)

2.2

Changement de variables

2.5 Théorème : Soit ? une fonction de classe C…