I-Objectif :
Le but de cette manipulation est la détermination de l’influence des matrices Q et R sur la stabilité du système en utilisant les outils Matlab.
II-Simulation du système :
Le système sur lequel portera notre étude possède la fonction de transfert suivante :
H(p)= 2/(0.15p2+p ) = 2/p(0.15p+1)
La réponse indicielle de ce système est représentée sur la figure suivante :

Onremarque que la réponse indicielle de ce système diverge ce qui montre que le système étudié est instable d’après le principe de EBSB (entrée bornée sortie bornée )qui stipule que la sortie d’un système stable doit être convergente si on injecte une entrée bornée (échelon par exemple) .
Ce résultat se confirme par la présence d’un pole nul dans la fonction de transfert .
Afin de déterminer lafonction de transfert discrète du système , on utilise la commande Matlab « c2d » :
Hd=c2d(H,1) // discrétisation avec une période d’échantillonnage de 1s
La réponse indicielle du système discret est alors :

Pareil pour le système discret , la réponse indicielle est divergente ce qui explique toujours l’instabilité du système .

Afin de mettre notre système sous la forme de
X = A.X+BUY= C.X+DU
On fait recours à la commande Matlab « tf2ss » (détails en annexe)
Les matrices obtenues sont les suivantes :
A=-6.666701.00000 ; B=10 ; C=( 0 13.3333) ; D=0

III-Commande du système :

1- Variation de Q :

La commande du système se fait à l’aide de la minimisation du critère cout Suivant :

J= 0?[10-6 x12+ x22 + ? u2 ] dt avec ?=0.001Sachant que la solution de ce problème est : u= – K x
Avec :
* K est le gain de retour d’état constant définit par :
K = -R -1 BT S

**S est une matrice solution de l’équation différentielle matricielle algébrique de RICCATI:

S + S.A+ AT.S – S.B.R-1.BT.S+Q=0
Etant donné que:
J= 0?[10-6 x12+ x22 + ? u2 ] dt =0?[xT Q x + uT R u ] dtPar identification du critère J on obtient :
x1x2 0.000001 001 x1x2 = 10-6 x12+ x22

R= ? =10-3
Q=0.000001 001

On se propose maintenant de déterminer les valeurs propres du système ainsi que le gain K , pour cela on utilise la commande Matlab « lqr » (détails en annexe) :

Le résultat obtenu est :

K = 3.7108 31.6228
S = 0.0037 0.0316
0.0316 0.3282eE =-5.1887 + 2.1680i // E est l’ensemble des valeurs propres
-5.1887 – 2.1680i

Interprétation :
Les valeurs propres données par E ne sont que les pôles de notre système.
Etant donné que ces pôles sont à partie réelle négative => le système devient stable

* en faisant varier les valeurs de Q, on détermine à chaque fois le gain K, les pôles du système ainsique la matrice S.

Valeurs de Q | Gain K | Valeurs propres E | La matrice S |
2*Q | 4.9044 44.7214 | -5.7855 + 3.3540i-5.7855 – 3.3540i | 0.0049 0.0447 0.0447 0.5175 |
5*Q | 6.9668 70.7107 | -6.8167 + 4.9237i-6.8167 – 4.9237i | 0.0070 0.0707 0.0707 0.9640 |
10*Q | 8.9684 100.0000 | -7.8175 + 6.2359i-7.8175 – 6.2359i | 0.0090 0.10000.1000 1.5635 |
12*Q |9.5674 109.5445 | -8.1170 + 6.6074i-8.1170 – 6.6074i | 0.0096 0.1095 0.1095 1.7784 |

*On trace la variation des pôles du système en fonction de Q :

Interprétation :
On remarque que les pôles varient dans un même sens (partie réelle des pôles s’éloignant du zéro et tend vers -?) lorsqu’on augmente la matrice Q.
=> le système devient de plus en plus stable lorsque Q augmente.=>Q a une influence sur la stabilité du système.

2-Variation de R :
On se propose maintenant de varier les valeurs de R en déterminant à chaque fois le gain K, les pôles du système et la matrice S.

Valeurs de R | Le gain K | Les valeurs propres E | La matrice S |
2*R | 2.7761 22.3607 | -4.7214 + 0.2629i-4.7214 – 0.2629i | 0.0056 0.0447 0.0447 0.4223 |
5*R | 1.8615…