Dissertation
Cours d’alg`bre lin´aire e e MIAS1, premier semestre
Rapha¨l Danchin e Ann´e 2003-2004 e
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Table des mati`res e
Structures usuelles 1 Les nombres complexes 1.1 Construction des nombres complexes . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Motivations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 D´?nition d’une loi ? dans R2 . . . . . . . . . . . e 1.1.3 D´?nition d’une loi ? dans R2 . . . . . .. . . . . . e 1.1.4 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Propri´t´s de C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ee 1.2.1 Propri´t´s alg´briques . . . . . . . . . . . . . . . . ee e 1.2.2 Repr´sentation polaire . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.2.3 Formules de trigonom´trie . . . . . . . . . . . . . . e 1.2.4 Racines n-i`me de l’unit´ . . . . . . . . . . . . . . ee 1.3 R´solution d’´quations du second degr´ . . . . . . . . . . e e e 1.3.1 Racine carr´e d’un nombre complexe . . . . . . . . e 1.3.2 R´solution d’´quations du second degr´ dans le cas e e e 2 Syst`mes lin´aires e e 2.1 Quelques exemples ´l´mentaires . . . . . . . . . . . . . . . ee 2.2 D´?nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.3 Matrice associ´e a un syst`me lin´aire. . . . . . . . . . . e ` e e 2.4 R´solution des syst`mes ´chelonn´s . . . . . . . . . . . . . e e e e 2.4.1 Syst`mes triangulaires a diagonale non nulle . . . . e ` 2.4.2 Syst`mes ´chelonn´s . . . . . . . . . . . . . . . . . e e e 2.5 M´thode du pivot de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.6 Structure de l’ensemble des solutions d’un syst`me lin´aire e e 2.6.1 Un exemple . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 2.6.2 Cas des syst`mes homog`nes . . . . . . . . . . . . e e 2.6.3 Cas g´n´ral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e 3 Familles de vecteurs 3.1 Vecteurs de Kn . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Familles de vecteurs . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Combinaisons lin´aires . . . . . . . . e 3.2.2 Familles g´n´ratrices . . . . . . . . . e e e 3.2.3 Familles libreset familles li´es . . . 3.2.4 Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Rang et dimension . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Dimension d’un sous-espace vectoriel 3.3.2 Rang d’une famille de vecteurs . . . 3 5 9 9 9 9 10 10 11 11 12 15 17 18 18 20 21 21 22 23 25 25 26 27 29 29 30 31 33 33 34 34 35 36 38 39 39 42
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4 3.3.3 3.3.4
TABLE DES MATIERES Rang d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Calcul pratique du rang d’unefamille de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ….