Les Mathématiques Financières

Yosra BEJAR Maître de Conférences Tél : 01.60.76.46.79 Mél : [email protected]

Plan du cours

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Taux d’intérêts * Les principes d’actualisation et de capitalisation Placements séquentielles plusieurs périodes Les obligations et emprunt sur

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Les taux d’intérêts simples et composés

1-définitions de base (SC1) 2- Les taux d’intérêts simples et composés (SC1) 3- Calcul des intérêts et modalités de paiement (SC2)

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Les définitions de base La période de référence

1

On appelle période de référence la période sur laquelle est défini le taux de l’opération. Ainsi, si le taux donné est un taux annuel, la période de référence est l’année, si letaux est mensuel, la période de référence est le mois, etc.

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Les définitions de base
Opérations à deux flux

1

Cas de l’emprunt /prêt
+C 1

Cas du placement
C (1+r)

t
0 – C (1+r)

0 1

t

-C

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Les taux d’intérêts simples et composés
Le principe des intérêts simples

2

Cas del’emprunt
Dans le cas d’un emprunt d’un capital C au taux d’intérêt r entre les dates t =0 et t =T, avec un remboursement du capital et des intérêts en une seule fois à la date finale t =T, le diagramme des flux est le suivant :
C

T
0

t

– C (1+ Tr)

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Les taux d’intérêts simples et composés
Le principe des intérêts simples

2

Exemple : Soit unemprunt d’un capital C = 1000 euros sur une durée de 6 mois avec un taux mensuel r = 0,5%. Quelle est la quantité d’intérêts à verser ? Réponse : I = C × r × T = 1000 × 0,5% × 6 = 30

Si la durée n’est pas un nombre entier

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Les taux d’intérêts simples et composés
Le principe des intérêts simples
Exemple : Soit un emprunt d’un capital C = 1000 eurossur une durée de 6 mois entre le 1er janvier 2005 et le 1er juillet 2005 au taux annuel r = 5%. La durée de l’emprunt est de 181 jours, 2005 n’étant pas bissextile.
D’où T = 181 / 365 = 0,49589…? 0,5 année I = 1000 × (181/365) × 5% = 24,79 euros NB : attention, alors qu’on aurait pu avoir l’idée d’utiliser de façon approchée 6 mois = 1/2 année d’où T = 0,5, on utilise pour le calcul la valeurexacte de T, c’est-à-dire la fraction 181/365.[1]

2

[1]

Cette convention de calcul est celle utilisée par les banques pour les crédits de durée inférieure à un an mais ce n’est pas celle du marché monétaire (où, sur l’exemple, T = 181/360). Page 8 Cours Math Fi EM1 Y. BEJAR

Les taux d’intérêts simples et composés
Le principe des intérêts simples Cas du prêt
Dans le cas du prêt ou duplacement d’un capital C au taux r entre les dates t = 0 et t = T, le diagramme des flux est le symétrique de celui de l’emprunt (car, pour le prêteur, le capital prêté constitue un flux négatif initial et le capital remboursé majoré des intérêts un flux positif terminal). Dès lors :
C (1+ T r)

2

0

t T

-C Page 9 Cours Math Fi EM1 Y. BEJAR

Les taux d’intérêts simples et composés
Leprincipe des intérêts simples Valeur acquise et taux de rendement arithmétique Par définition, la « valeur acquise » est le montant final (intérêt et capital) récupéré à l’échéance de l’opération financière. Dans le cas des opérations à intérêts simples, la valeur acquise est déterminée de la manière suivante : Valeur acquise = capital initial + intérêts acquis sur le capital initial Soit ici,2

Vacq. = C (1 + Tr)

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Les taux d’intérêts simples et composés
Le principe des intérêts simples

2

Valeur acquise et taux de rendement arithmétique
La notion de taux de rendement annuel arithmétique permet de répondre à la question suivante : Soit le placement d’un capital C0 donnant lieu à un flux (valeur acquise) C1 à la fin d’une…