Mécanique des structures

Caractéristiques géométriques des sections

TS

Chapitre 5 – Caractéristiques géométriques des sections
SOMMAIRE

I – Centre de gravité………………………………………………………………………………………………….. 64
1°/Définition…………………………………………………………………………………………………………………… 64 2°/ Théorèmes de Guldin. ………………………………………………………………………………………………… 65

II – Moment statique d’une surface plane par rapport à un axe de son plan. …………………. 66
1°/Définition…………………………………………………………………………………………………………………… 66 2°/ Moment statique dans un système d’axes orthonormés ……………………………………………….. 66 3°/ Moment statique des surfaces composées…………………………………………………………………….. 66

III – Moment quadratique d’une surface plane par rapport à un axe de son plan ………….. 66
1°/Définition…………………………………………………………………………………………………………………… 67 2°/ Théorème de Huygens………………………………………………………………………………………………… 67 3°/ Moment quadratique des surfaces composées ……………………………………………………………… 68 4°/ Rayon degiration ………………………………………………………………………………………………………. 68

IV – Applications………………………………………………………………………………………………………. 68
1°/ Moment statique d’un rectangle par rapport à un de ses côtés. ……………………………………. 68 2°/ Momentquadratique d’un rectangle par rapport à un de ses côtés………………………………. 68 3°/ Moment quadratique d’un rectangle par rapport aux axes de symétrie. ………………………. 69

Formulaire Centre de gravité…………………………………………………………………………………….. 70 Formulaire Moment quadratique………………………………………………………………………………. 71

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Mécanique des structures

Caractéristiques géométriques des sections

TS

I – CENTRE DE GRAVITE
1°/ Définition
Considérons, dans l’espace, un solide comme étant constitué d’un ensemble de n points matériels M1, M2, …, Mi, …, Mn, de masse respective dm1, dm2, …, dmi, …, dmn. Ce solide est de volume V.
y M1 G O z x MiMn

Par définition, le centre de gravité de l’ensemble des n points est le point G tel que :

?

V

GM i .dm = 0

G est aussi appelé centre de masse.

Pour déterminer la position de G dans le repère (O, x, y, z), il faut mettre cette définition sous une forme plus facile à exploiter : GM i = GO + OM i = OM i ? OG
? ? OM i ? OG .dm = 0
V

(

)

? ?? ??
?

V

OM i .dm ? ? OG.dm = 0
V

V

OM i .dm ?OG ? dm = 0
V

V

OM i .dm ?OG .m = 0

? OG =

?

V

OM i .dm m

(1)

Soient xi, yi et zi les coordonnées du point Mi. On obtient à partir de la relation (1) les coordonnées xG, yG et zG du centre de gravité G :

xG =

?

V

x i .dm m

yG =

?

V

yi .dm m

zG =

?

V

zi .dm m

? Cas où le matériau est homogène : ? = cteavec m = ?V et dm = ?dV . La relation devient :

V V V Les coordonnées du centre de gravité sont alors indépendantes de la nature du matériau.
? Cas où le solide est d’épaisseur constante e : V = e.S et dV = e.dS, avec S la surface du solide. La relation devient :

xG =

?

V

x i .dV

yG =

?

V

yi .dV

zG =

?

V

z i .dV

S Dans ce cas, G est appelé centre de…